登記機關應該是被收養一方的戶籍所在地的縣級民政部門；收養社會福利機構撫養的查找不到生父母的棄嬰、兒童和孤兒的，在社會福利機構所在地的收養登記機關辦理登記；收養非社會福利機構撫養的查找不到生父母的棄嬰和兒童的，在棄嬰和兒童發現地的收養登記機關辦理登記。

涉外收養的條件及程序有哪些

外國人依照本法可以在中華人民共和國收養子女。外國人在中華人民共和國收養子女，應當經其所在國主管機關依照該國法律審查同意。收養人應當提供由其所在國有權機構出具的有關收養人的年齡、婚姻、職業、財產、健康、有無受過刑事處罰等狀況的證明材料，該證明材料應當經其所在國外交機關或者外交機關授權的機構認證，并經中華人民共和國駐該國使領館認證。該收養人應當與送養人訂立書面協議，親自向省級人民政府民政部門登記。

收養關系當事人各方或者一方要求辦理收養公證的，應當到國務院司法行政部門認定的具有辦理涉外公證資格的公證機構辦理收養公證。

收養人、送養人要求保守收養秘密的，其他人應當尊重其意愿，不得泄露。

在我國已經開放了涉外收養的事情。